n! এবং nCr এর মান নির্ণয়

নবম-দশম শ্রেণি (মাধ্যমিক ২০২৫) - উচ্চতর গণিত - দ্বিপদী বিস্তৃতি | | NCTB BOOK

নিচের উদাহরণগুলো লক্ষ করি:

$2 = 2.1, 6 = 3.2.1, 24 = 4.3.2.1!, 120 = 5.4.3.2.1, . . .$

ডানদিকের গুণফলসমূহকে আমরা এখন সংক্ষেপে একটি সাংকেতিক চিহ্নের মাধ্যমে প্রকাশ করতে পারি।

$2 = 2.1 = 2!, 6 = 3.2.1 = 3!, 24 = 4.3.2.1 = 4!, 120 = 5.4.3.2.1 = 5! . . . . .$

এখন লক্ষ করি:
$4! = 4.3.2.1 = 4 . (4 - 1) . (4 - 2) . (4 - 3) 5! = 5.4.3.2.1 = 5 . (5 - 1) . (5 - 2) . (5 - 3) . (5 - 4)$

সাধারণভাবে লিখতে পারি, $n! = n (n - 1) (n - 2) (n - 3) . . . . . . . . . . 3 . 2 . 1$ এবং $n!$ কে ফ্যাক্টোরিয়াল (Factorial) $n$ বলা হয়। তদ্রুপ $3!$ কে ফ্যাক্টোরিয়াল তিন, $4!$ কে ফ্যাক্টোরিয়াল চার ইত্যাদি পড়া হয়।

আবার লক্ষ করি:
$(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) = \frac{5.4.3}{1.2.3} = \frac{5.4.3.2.1}{(1.2.3) . (2.1)} = \frac{5!}{3! \times 2!} = \frac{5!}{3! \times (5 - 3)!}$

$(\begin{matrix} 7 \\ 4 \end{matrix}) = \frac{7.6.5.4}{1.2.3.4} = \frac{7.6.5.4.3.2.1}{(1.2.3.4) . (3.2.1)} = \frac{7!}{4! \times 3!} = \frac{7!}{4! \times (7 - 4)!}$

$∴$ সাধারণভাবে আমরা বলতে পারি $(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) = \frac{n!}{r! (n - r)!}$

ডান পাশের ফ্যাক্টোরিয়ালসমূহকে যে প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয় তা হলো,

$(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) = \frac{n!}{r! (n - r)!} = {}^{n}C_{r}$

$(\begin{matrix} 7 \\ 4 \end{matrix}) = \frac{7!}{4! (7 - 4)!} = {}^{7}C_{4}$ এবং $(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) = \frac{5!}{3! (5 - 3)!} = {}^{5}C_{3}$

সুতরাং, $(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) = {}^{n}C_{r}$ অর্থাৎ, $(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix})$ ও ${}^{n}C_{r}$ এর মান এক।

আমরা জানি $(\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) = {}^{n}C_{n} = \frac{n!}{n! (n - n)!} = \frac{n!}{n! (0)!} = \frac{1}{0!} ∴ 1 = \frac{1}{0!},$

অর্থাৎ $0! = 1$

মনে রাখতে হবে

$n! = n (n - 1) (n - 2) . . . . . . . . 3.2.1 (\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) = {}^{n}C_{r}, {}^{n}C_{r} = 1 (\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) = {}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r! (n - r)!}, (\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}) = {}^{n}C_{0} = 1 (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) = {}^{n}C_{n} = 1, 0! = 1$
এখন দ্বিপদী উপপাদ্যতে আমরা $(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix})$ কে ${}^{n}C_{r}$ দ্বারা প্রকাশ করব।
${(1 + y)}^{n} = 1 + {}^{n}C_{1} y + {}^{n}C_{2} y^{2} + {}^{n}C_{3} y^{3} + . . . . . . . . . + {}^{n}C_{n} y^{n} \Rightarrow {(1 + y)}^{n} = 1 + n y + \frac{n (n - 1)}{2!} y^{2} + \frac{n (n - 1) (n - 2)}{3!} y^{3} + . . . . . . . + y^{n}$

এবং অনুরূপভাবে,
${(x + y)}^{n} = x^{n} + {}^{n}C_{1} x^{n - 1} y + {}^{n}C_{2} x^{n - 2} y^{2} + {}^{n}C_{3} x^{n - 3} y^{3} + . . . . . . . + {}^{n}C_{r} x^{n - r} y^{r} + . . . . . . . + {}^{n}C_{n} y^{n} ∴ {(x + y)}^{n} = x^{n} + n x^{n - 1} y + \frac{n (n - 1)}{1.2} x^{n - 2} y^{2} + \frac{n (n - 1) (n - 2)}{1.2.3} x^{n - 3} y^{3} + . . . . . . . . . . + y^{n}$
লক্ষণীয়: ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $n$ এর জন্য
দ্বিপদী বিস্তৃতি ${(1 + y)}^{n}$ এর সাধারণ পদ বা $(r + 1)$ তম পদ $T_{r + 1} = (\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) y^{r}$ বা ${}^{n}C_{r} y^{r}$
এখানে, $(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix})$ বা ${}^{n}C_{r}$ দ্বিপদী সহগ।
${(x + y)}^{n} = x^{n} + {}^{n}C_{1} x^{n - 1} y + {}^{n}C_{2} x^{n - 2} y^{2} + {}^{n}C_{3} x^{n - 3} y^{3} + . . . . . . . . . . . + {}^{n}C_{n} y^{n} \Rightarrow {(x + y)}^{n} = x^{n} + n x^{n - 1} y + \frac{n (n - 1)}{1.2} x^{n - 2} y^{2} + \frac{n (n - 1) (n - 2)}{1.2.3} x^{n - 3} y^{3} + . . . . . . . . + y^{n}$
সাধারণ পদ বা $(r + 1)$ তম পদ $T_{r + 1} = (\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) x^{n - r} y^{r}$ যেখানে $(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix})$ বা ${}^{n}C_{r}$ দ্বিপদী সহগ ।
উদাহরণ ৫. ${(x - \frac{1}{x^{2}})}^{5}$ কে বিস্তৃত কর।

সমাধান: দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে

${(x - \frac{1}{x^{2}})}^{5} = x^{5} + {}^{5}C_{1} x^{5 - 1} (- \frac{1}{x^{2}}) + {}^{5}C_{2} x^{5 - 2} {(- \frac{1}{x^{2}})}^{2} + {}^{5}C_{3} x^{5 - 3} {(- \frac{1}{x^{2}})}^{3} + {}^{5}C_{4} x^{5 - 4} {(- \frac{1}{x^{2}})}^{4} + {(- \frac{1}{x^{2}})}^{5} = x^{5} - 5 x^{4} . \frac{1}{x^{2}} + \frac{5.4}{1.2} x^{3} . \frac{1}{x^{4}} - \frac{5.4.3}{1.2.3} x^{2} \frac{1}{x^{6}} + \frac{5.4.3.2}{1.2.3.4} x \frac{1}{x^{8}} - \frac{1}{x^{10}} = x^{5} - 5 x^{2} + \frac{10}{x} - \frac{10}{x^{4}} + \frac{5}{x^{7}} - \frac{1}{x^{10}}$

Mark as Completed

Content added || updated By

Genius

n! এবং nCr এর মান নির্ণয়

n! এবং nCr এর মান নির্ণয়

All Notifications

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Promotion